$(n,m)$-dumbbell graph 是由完全圖 $K_n$ 與 $K_m$ 用一條橋接邊（bridge）連接而成。因為這條橋接邊是連接兩個子圖之間唯一的邊，移除它會使圖不連通，所以它是必經的割邊（cut edge），每一棵生成樹都必須包含這條橋接邊。

一旦包含此橋接邊，剩下需要做的就是分別在 $K_n$ 與 $K_m$ 內各自選出一棵生成樹（互相獨立），因此整張圖的生成樹總數等於兩個完全圖生成樹數目的乘積。

由 Cayley 公式，$K_n$ 的生成樹數目為 $n^{n-2}$，$K_m$ 的生成樹數目為 $m^{m-2}$。

因此 $(n,m)$-dumbbell graph 的生成樹總數為 $n^{n-2}\cdot m^{m-2}$

（已用程式以 Matrix-Tree 定理對多組小型 $n,m$ 數值驗證此公式成立。）