設 $L\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5x-3y\\x+y\\-3x+2y\end{bmatrix}$，$B_1=\{u_1,u_2\}=\left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\}$，$B_2=\{v_1,v_2,v_3\}=\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\right\}$。

先計算 $L(u_1)=L(1,2)=(5-6,\,1+2,\,-3+4)=(-1,3,1)$，$L(u_2)=L(1,1)=(5-3,\,1+1,\,-3+2)=(2,2,-1)$。

接著把 $L(u_1)$、$L(u_2)$ 用 $B_2$ 的基底表示，即解 $av_1+bv_2+cv_3=L(u_i)$：

對 $L(u_1)=(-1,3,1)$：由 $a+c=-1$、$2a+c=3$、$a+b+2c=1$ 解得 $a=4,\ b=7,\ c=-5$（驗證：$4(1,2,1)+7(0,0,1)-5(1,1,2)=(-1,3,1)$，成立）。

對 $L(u_2)=(2,2,-1)$：由 $a+c=2$、$2a+c=2$、$a+b+2c=-1$ 解得 $a=0,\ b=-5,\ c=2$（驗證：$0(1,2,1)-5(0,0,1)+2(1,1,2)=(2,2,-1)$，成立）。

因此 $L$ 對基底 $B_1,B_2$ 的矩陣表示（每一行為對應 $L(u_i)$ 在 $B_2$ 下的座標）為： $[L]_{B_2}^{B_1}=\begin{bmatrix}4 & 0\\ 7 & -5\\ -5 & 2\end{bmatrix}$