設 $S=\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7+\sqrt8+\sqrt9+\sqrt{10}+\sqrt{11}+\sqrt{12}+\sqrt{13}$（共9項），分別證明 $S<27$ 與 $S>26$，即可得整數部分為 $26$。

上界（$S<27$）：由 Cauchy-Schwarz 不等式 $S = \sum_{n=5}^{13} 1\cdot\sqrt{n} \le \sqrt{9}\cdot\sqrt{\sum_{n=5}^{13} n} = \sqrt{9\times81} = \sqrt{729}=27$ （利用 $\sum_{n=5}^{13}n = \dfrac{(5+13)\times9}{2}=81$）。等號成立條件是所有 $\sqrt n$ 相等，但 $5,\ldots,13$ 互不相同，故不等式為嚴格不等式：$S<27$。

下界（$S>26$）：利用逐項有理下界

對每個 $m^2\le n<(m+1)^2$，令 $k=n-m^2$，則有嚴格不等式（$k>0$ 時） $\sqrt{n} > m+\frac{k}{2m+1}$ （證明：只需驗證 $\left(m+\dfrac{k}{2m+1}\right)^2<n$，展開化簡後等價於 $\dfrac{2mk}{2m+1}+\dfrac{k^2}{(2m+1)^2}<k$，兩邊除以 $k>0$ 化簡為 $k<2m+1$，而由 $n<(m+1)^2$ 知 $k=n-m^2\le2m<2m+1$，成立。）

逐項代入 $n=5,\ldots,13$（$n=9$ 恰為完全平方，$\sqrt9=3$ 為精確值）： $n=5(m=2,k=1):\ 2.2,\quad n=6(k=2):\ 2.4,\quad n=7(k=3):\ 2.6,\quad n=8(k=4):\ 2.8$ $n=9:\ 3,\quad n=10(m=3,k=1):\ 3+\tfrac17\approx3.1429,\quad n=11(k=2):\ 3+\tfrac27\approx3.2857$ $n=12(k=3):\ 3+\tfrac37\approx3.4286,\quad n=13(k=4):\ 3+\tfrac47\approx3.5714$

加總下界：$2.2+2.4+2.6+2.8+3+3.1429+3.2857+3.4286+3.5714\approx26.4286>26$，故 $S>26.4286>26$。

結論： $26<S<27$，因此 $S$ 的整數部分為 $26$。