$a_n=3\cdot2^n-3^n-1$。

原卷的初始條件印成「$a_0=1$, $a_1=2$, and $a_1=2$」，$a_1$ 重複出現；三階遞迴需要三個初始條件，第三個應為 $a_2=2$，本題依此作答。

特徵方程 $r^3-6r^2+11r-6=0$ 因式分解為 $(r-1)(r-2)(r-3)=0$，根為 $1,2,3$。設 $a_n=\alpha+\beta\cdot2^n+\gamma\cdot3^n$，代入初始條件： $\alpha+\beta+\gamma=1,\quad \alpha+2\beta+3\gamma=2,\quad \alpha+4\beta+9\gamma=2$ 前兩式相減得 $\beta+2\gamma=1$，後兩式相減得 $2\beta+6\gamma=0$，解得 $\gamma=-1$、$\beta=3$、$\alpha=-1$。

驗算：由遞迴 $a_3=6\cdot2-11\cdot2+6\cdot1=-4$，公式 $3\cdot8-27-1=-4$，一致。