The generating function in partial fraction decomposition for the recurrence equation an=−an−1+6an−2a_n = -a_{n-1} + 6a_{n-2}an=−an−1+6an−2 for ana_nan in terms of a0=Aa_0 = Aa0=A and a1=Ba_1 = Ba1=B is:
參考答案與解析
答案 (E)。把 an+an−1−6an−2=0a_n+a_{n-1}-6a_{n-2}=0an+an−1−6an−2=0（n≥2n\ge2n≥2）乘上 xnx^nxn 加總：G(x)(1+x−6x2)=a0+(a1+a0)x=A+(A+B)xG(x)(1+x-6x^2)=a_0+(a_1+a_0)x=A+(A+B)xG(x)(1+x−6x2)=a0+(a1+a0)x=A+(A+B)x。
因式分解 1+x−6x2=(1−2x)(1+3x)1+x-6x^2=(1-2x)(1+3x)1+x−6x2=(1−2x)(1+3x)，設 G(x)=P1−2x+Q1+3xG(x)=\frac{P}{1-2x}+\frac{Q}{1+3x}G(x)=1−2xP+1+3xQ：代 x=12x=\frac12x=21 得 3A+B2=52P\frac{3A+B}{2}=\frac52P23A+B=25P，P=3A+B5P=\frac{3A+B}{5}P=53A+B；代 x=−13x=-\frac13x=−31 得 2A−B3=53Q\frac{2A-B}{3}=\frac53Q32A−B=35Q，Q=2A−B5Q=\frac{2A-B}{5}Q=52A−B。
所以 G(x)=15[3A+B1−2x+2A−B1+3x]G(x)=\frac15\left[\frac{3A+B}{1-2x}+\frac{2A-B}{1+3x}\right]G(x)=51[1−2x3A+B+1+3x2A−B]，與 (E) 相同。
