成大111 計算機數學第7題｜線性代數 Ch7 內積空間

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第 18 題／共 37 題

18. Frobenius範數、跡數、內積

#LA-07-018易Frobenius範數跡數內積

\|\mathbf{A}\|_F = (\langle \mathbf{A}, \mathbf{A}\rangle)^{1/2} = \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2\right)^{1/2} \quad \text{for } \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}.

The trace of an $n \times n$ matrix $\mathbf{C}$ , denoted $tr(\mathbf{C})$ , is the sum of its diagonal entries; that is,

tr(\mathbf{C}) = c_{11} + c_{22} + \cdots + c_{nn}

If $A$ and $B$ are $m \times n$ matrices, show that

(a) $\|\mathbf{A}\|_F^2 = tr(\mathbf{A}^T\mathbf{A})$ (5%)

(b) $\|\mathbf{A}+\mathbf{B}\|_F^2 = \|\mathbf{A}\|_F^2 + 2tr(\mathbf{A}^T\mathbf{B}) + \|\mathbf{B}\|_F^2$ (5%)

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▤完整推導請見《WH 資工筆記 · 線性代數》Ch7 內積空間

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