$\dfrac{11}{9}$。

題目問的是 $S$ 裡面的向量 $x$（也就是所有最小平方解）中，範數最小的那一個的範數平方，即最小範數最小平方解 $\|x^+\|^2$，不是殘差 $\|Ax-b\|^2$。

找出 $S$：$A$ 的第 3 行 $=-$第 1 行 $+\,2\times$ 第 2 行，$\operatorname{rank}A=2$，$N(A)=\operatorname{span}\{(1,-2,1)^T\}$。$S$ 是正規方程式 $A^TAx=A^Tb$ 的解集合：

取 $x_3=0$ 解前兩式 $2x_1-x_2=3$、$-x_1+2x_2=-2$，得 $x_1=\frac43$、$x_2=-\frac13$。所以

（此時 $Ax=\left(\frac43,-\frac13,\frac53\right)^T$，殘差 $b-Ax=\left(-\frac13,\frac13,\frac13\right)^T$，最小殘差平方是 $\frac13$。）

在 $S$ 中取範數最小的：範數最小的解必須與 $N(A)$ 正交。令 $\left(\frac43+t,\,-\frac13-2t,\,t\right)\cdot(1,-2,1)=\frac43+\frac23+6t=0$，得 $t=-\frac13$，

（$t$ 是複數時，$\|x\|^2=\|x^+\|^2+6|t+\frac13|^2$，最小值一樣在 $t=-\frac13$。）