所有特徵值的乘積等於 $\det(A)=(1-a^2)^n$。

$A$ 是 $(n+1)\times(n+1)$ 矩陣，第 $i$ 列第 $j$ 行為 $a^{|i-j|}$（$i,j=0,1,\ldots,n$）。由下往上，把第 $i+1$ 列減去 $a$ 倍的第 $i$ 列（$i=n-1,\ldots,1,0$，每次都用原本的第 $i$ 列，行列式不變）：

• $j\le i$ 時：$a^{i+1-j}-a\cdot a^{i-j}=0$；
• $j\ge i+1$ 時：$a^{j-i-1}-a\cdot a^{j-i}=a^{j-i-1}(1-a^2)$。

所以新的第 $i+1$ 列是 $(0,\ldots,0,\ 1-a^2,\ a(1-a^2),\ \ldots)$，對角線上是 $1-a^2$。第 0 列不變，對角線是 $1$。整個矩陣變成上三角矩陣，行列式是對角線乘積：

特徵值的乘積等於行列式，答案為 $(1-a^2)^n$。